\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 13 \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
计算 \[ \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{\sqrt{x}}{1+x^2} {~d} x . \]
\(\mathcal{S}olution. \)
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{\sqrt{x}}{1+x^2} {~d} x &=\int_0^{\pi / 2}(\tan x)^{1 / 2} {~d} x \\ &=\int_0^{\pi / 2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}} {~d} x \\ &=\int_0^{\pi / 2}(\sin x)^{1 / 2}(\cos x)^{-1 / 2} {~d} x \\ &=\frac{1}{2} \mathrm{~B}\left(\frac{1+0.5}{2}, \frac{1-0.5}{2}\right) \\ &=\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) \Gamma\left(\frac{1}{4}\right) \\ &=\frac{\sqrt{2} \pi}{2} . \end{aligned} $$